定义:假设壹个菱形的四个极限均在壹个长圆上

来源:未知| 2016-01-21 09:25:04|

  剖析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),寻求出产当菱形ABCD的对角线在背靠标注轴上时的面积;当菱形ABCD的对角线不在背靠标注轴上时,设下垂线AC的方程为:y=kx,则下垂线BD的方程为:$y=-\frac{1}{k}x$,联立下垂线方程和长圆方程,寻求得OA、OB,代入菱形面积公式,转募化为关于k的函数,又由根本不一式寻求最值;

  (2)设原点到菱形任壹边的距退为d,结合(1)使用等积法寻求得d为定值,说皓存放在定圆与F中的菱形邑相切,并寻求得圆的方程;

  (3)设菱形的壹边AD的方程为$y=t({x-\sqrt{3}})$,募化为普畅通式,由(2)结合点到下垂线的距退公式寻求得t得恢复案.

  松恢复 松:(1)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),

  ①当菱形ABCD的对角线在背靠标注轴上时,其面积为$4×\frac{1}{2}×2×1=4$;

  ②当菱形ABCD的对角线不在背靠标注轴上时,设下垂线AC的方程为:y=kx,

  则下垂线BD的方程为:$y=-\frac{1}{k}x$,

  联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得${x_1}^2=\frac{4}{{4{k^2}+1}}$,${y_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$,

  从而$O{A^2}={x_1}^2+{y_1}^2=\frac{{4({k^2}+1)}}{{4{k^2}+1}}$,

  同理却得,$O{B^2}={x_2}^2+{y_2}^2=\frac{{4[{{{({-\frac{1}{k}})}^2}+1}]}}{{4{{({-\frac{1}{k}})}^2}+1}}=\frac{{4({k^2}+1)}}{{{k^2}+4}}$,

  ∴菱形ABCD的面积为2×OA×OB=$8\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{4{k^4}+17{k^2}+4}}}$=$4\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$

  =$4\sqrt{1-\frac{{\frac{9}{4}{k^2}}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$=$4\sqrt{1-\frac{9}{{4({{k^2}+\frac{1}{k^2}})+17}}}$$≥4\sqrt{1-\frac{9}{{4×2\sqrt{{k^2}×\frac{1}{k^2}}+17}}}$=$\frac{16}{5}$.

  (当且但当k=±1时等号成立),

  综上得,菱形ABCD的最小面积为$\frac{16}{5}$;

  (2)存放在定圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$与F中菱形的邑相切.

  设原点到菱形任壹边的距退为d,下面证皓:$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$.

  证皓:由(1)知,当菱形ABCD的对角线在背靠标注轴上时,$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$,

  当菱形ABCD的对角线不在背靠标注轴上时,

  ${d^2}=\frac{{O{A^2}×O{B^2}}}{{O{A^2}+O{B^2}}}$=$\frac{{\frac{{4({k^2}+1)}}{{4{k^2}+1}}×\frac{{4({k^2}+1)}}{{{k^2}+4}}}}{{\frac{{4({k^2}+1)}}{{4{k^2}+1}}+\frac{{4({k^2}+1)}}{{{k^2}+4}}}}$=$\frac{{4{{({k^2}+1)}^2}}}{{({k^2}+1)({k^2}+4)+({k^2}+1)(4{k^2}+1)}}$

  =$\frac{{4{{({k^2}+1)}^2}}}{{({k^2}+1)(5{k^2}+5)}}=\frac{4}{5}$,即得$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$.

  综上,存放在定圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形邑相切;

  (3)设下垂线AD的方程为$y=t({x-\sqrt{3}})$,即$tx-y-\sqrt{3}t=0$,

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